Jak wieszać firanki?

Ponieważ już kilka razy zdarzyło mi się stać pod karniszem z
firanką w ręku i zastanawiać na ilu żabkach należy przyczepić
firankę tak, by było równo, postanowiłem uformować małą teoryjkę na
ten temat.
Na początek informacje o tym, jak cała sprawa wygląda. Dane
początkowe: firanka (często jeszcze wilgotna), n żabek i karnisz. Na
początku zaczepiamy firankę na dwóch skrajnych żabkach, dzielimy na
pół i przyczepiamy żabkę środkową w punkcie podziału. Teraz dwie
powstałe części także dzielimy na pół i w punktach podziału
doczepiamy środkowe żabki z pozostałych, itd. Ogólnie: dziel i
wieszaj (trochę makabryczne, ale się sprawdza). ^_^
Sytuacja byłaby prosta, gdyby nie jeden przykry fakt: nie
zawsze można znaleźć środkową żabkę. Przypuśćmy, że mamy do
powieszenia firankę na 6 żabkach. Zaczepiamy za dwie skrajne -
zostają 4. Dzielimy na pół i... no właśnie: nie ma środkowej żabki.
By temu zaradzić należy przed przystąpieniem do wieszania odliczyć
odpowiednią liczbę żabek tak, by zawsze można było wskazać środkową.
Na początek rozpatrzmy kilka przykładów. Na jednej żabce nie ma
co wieszać. Przy 2 żabkach wieszamy firankę nie przejmując się
podziałami. Przy 3 żabkach nie ma problemu: zaczepiamy skrajne -
zostaje jedna, którą zaczepiamy na środku. Dla 4 żabek pojawia się
pierwszy problem, przy 5 znowu wszystko jest OK. Przy 6, 7, i 8
znowu są problemy i dopiero 9 jest następną optymalną liczbą.
Przyjrzyjmy się uważniej: firankę dobrze wieszało się na: 2, 3, 5 i
9 żabkach... te liczby ("jak łatwo widać" ^_^) tworzą ciąg o wyrazie
ogólnym:

an = 2n + 1, gdzie n należy do zbioru {0,1,2,3,4...}

Teraz w prosty sposób możemy otrzymać liczbę żabek, na których
nasza firanka będzie równo rozwieszona:

n | 0| 1| 2| 3| 4| 5| 6| 7| 8
--------+----+----+----+----+----+----+----+----+----
2n + 1 | 2| 3| 5| 9| 17| 33| 65| 129| 257*

* nikomu nie życzę wieszania taaakiej firanki

Jeśli popatrzymy uważnie na ten ciąg, to możemy odnaleźć
zależność rekurencyjną: Jeśli wiemy ile równa się an to:

an+1 = 2an - 1.

Czasami zdarza się, że firanka, pomimo tego, że wisi w równych
odstępach, nie wygląda ładnie: 17 żabek to za mało, a 33 stanowczo
za dużo. W takim przypadku będziemy musieli niestety zastosować
nieco bardziej kłopotliwą metodę: dobierzemy tyle żabek, by ładnie
dzieliły się na pół i dopiero na końcu zostały po dwie wolne, które
możemy bez większego psucia symetrii przypiąć na oko. Sytuacja taka
ma miejsce w przypadku ilości żabek równej 4, 7, 13, 25 itd. Ciąg
ten ma wyraz ogólny opisany wzorem:

an = 2n + 2n-1 + 1, gdzie n należy do zbioru {1,2,3,4...}

Zauważmy jednak, że zależność rekurencyjna pozostała taka sama
jak poprzednio, czyli:

an+1 = 2an - 1

To, co uległo zmianie, to pierwszy wyraz ciągu, w tym
przypadku: a1 = 4.
Oznaczmy pierwszy ciąg (ten, z pierwszym wyrazem = 2) przez 2a,
a drugi (z wyrazem początkowym = 4) przez 4a. Kontynuując ten tok
myślenia dochodzimy do kolejnych ciągów, których wyrazy początkowe
to 6, 8, 10 itd. (pytanie: dlaczego nie rozpatrujemy też: 3, 5, 7 i
9 ?) We wszystkich tych ciągach zależność rekurencyjna dana jest tym
samym wzorem. Jeśli dorzucimy jeszcze ciąg o wyrazie początkowym
równym 1 (ozn.: 1a), to otrzymamy zbiór ciągów takich, że suma
zbiorów ich elementów będzie równa zbiorowi liczb naturalnych
(N = {1,2,3,4...}).

N = Ui z K {x | x z ia}, gdzie K = {1} u {2,4,6...}

Ponadto iloczyn zbiorów elementów dwóch różnych ciągów będzie
zbiorem pustym:

dla i,j z K | i<>j: {x | x z ia} n {x | x z ja} = 0

Kolejnym rozwinięciem teoryjki jest uogólnienie jej na liczby
ujemne, co niestety wykracza już poza proste wieszanie firanek.

1
2._
3. '4._
5,'. '6._
'. 7. '8._
9 '. ', '10_
: '. 11 '12_
: 13 ', '14_
'. '. 15 '16_
17: '. ', '18_
'. '. 19 '20_
: 21 ', '22_
' '. 23 '24_
25 '. '. '26_
: '. 27 '28_
: 29 '. '30_
'. '. 31 '32_
33 : '. '. '34_
'. '. 35 '
: 37 '.
' '. 39
41 '. '.

Wnosić bomby do samolotu!!!

Jakie jest prawdopodobieństwo, że w samolocie jest bomba? No cóż, powiedzmy, że mniej więcej 1/10,000. W takim razie, jakie jest prawdopodobieństwo, że w samolocie są dwie bomby? Odpowiedź brzmi: 1/100,000,000. Zatem najlepiej dla dobra pasażerów wnieść na pokład samo-lotu bombę, bo przecież my swojej własnej nie odpalimy, a prawdopodobieństwo, że jest jeszcze jedna do pary jest astronomicznie małe (1/100,000,000)!

To illustrate the various methods of proof: an example of a logical
system.

THE PEJORATIVE CALCULUS

Lemma 1. All horses are the same colour.
(Proof by induction)

Proof. It is obvious that one horse is the same colour. Let us assume
the proposition P(k) that k horses are the same colour and use this to
imply that k+1 horses are the same colour. Given the set of k+1 horses,
we remove one horse; then the remaining k horses are the same colour,
by hypothesis. We remove another horse and replace the first; the k
horses, by hypothesis, are again the same colour. We repeat this until
by exhaustion the k+1 sets of k horses have been shown to be the same
colour. It follows that since every horse is the same colour as every
other horse, P(k) entails P(k+1). But since we have shown P(1) to be
true, P is true for all succeeding values of k, that is, all horses are
the same colour.

Theorem 1. Every horse has an infinite number of legs.
(Proof by intimidation.)

Proof. Horses have an even number of legs. Behind they have two legs
and in front they have fore legs. This makes six legs, which is cer-
tainly an odd number of legs for a horse. But the only number that is
both odd and even is infinity. Therefore horses have an infinite num-
ber of legs. Now to show that this is general, suppose that somewhere
there is a horse with a finite number of legs. But that is a horse of
another colour, and by the lemma that does not exist.

Corollary 1. Everything is the same colour.

Proof. The proof of lemma 1 does not depend at all on the nature of the
object under consideration. The predicate of the antecedent of the uni-
versally-quantified conditional 'For all x, if x is a horse, then x is
the same colour,' namely 'is a horse' may be generalized to 'is anything'
without affecting the validity of the proof; hence, 'for all x, if x is
anything, x is the same colour.'

Corollary 2. Everything is white.

Proof. If a sentential formula in x is logically true, then any parti-
cular substitution instance of it is a true sentence. In particular
then: 'for all x, if x is an elephant, then x is the same colour' is
true. Now it is manifestly axiomatic that white elephants exist (for
proof by blatant assertion consult Mark Twain 'The Stolen White Ele-
phant'). Therefore all elephants are white. By corollary 1 everything
is white.

Theorem 2. Alexander the Great did not exist and he had an infinite
number of limbs.

Proof. We prove this theorem in two parts. First we note the obvious
fact that historians always tell the truth (for historians always take
a stand, and therefore they cannot lie). Hence we have the historically
true sentence, 'If Alexander the Great existed, then he rode a black
horse Bucephalus.' But we know by corollary 2 everything is white;
hence Alexander could not have ridden a black horse. Since the conse-
quent of the conditional is false, in order for the whole statement to
be true the antecedent must be false. Hence Alexander the Great did not
exist.
We have also the historically true statement that Alexander was warned
by an oracle that he would meet death if he crossed a certain river. He
had two legs; and 'forewarned is four-armed.' This gives him six limbs,
an even number, which is certainly an odd number of limbs for a man.
Now the only number which is even and odd is infinity; hence Alexander
had an infinite number of limbs. We have thus proved that Alexander the
Great did not exist and that he had an infinite number of limbs.

Theorem: In any finite set of women, if one has blue eyes then they
all have blue eyes.

Proof. Induction on the number of elements.

if n= or n=1 it is immediate.

Assume it is true for k

Consider a group with k+1 women, and without loss of generality assume
the first one has blue eyes. I will represent one with blue eyes with
a '*' and one with unknown eye color as @.

You have the set of women:

{*,@,...,@} with k+1 elements. Consider the subset made up of the first
k. This subset is a set of k women, of which one has blue eyes. By
the induction hypothesis, all of them have blue eyes. We have then:

{*,...,*,@}, with k+1 elements. Now consider the subset of the last k
women. This is a set of k women, of which one has blue eyes (the next-to-last
element of the set), hence they all have blue eyes, in particular
the k+1-th woman has blue eyes.

Hence all k+1 women have blue eyes.

By induction, it follows that in any finite set of women, if one has
blue eyes they all have blue eyes. QED

Theorem: All dogs have nine legs.
Proof:
would you agree that no dog has five legs?
would you agree that _a_ dog has four legs more then _no_ dog?
4 + 5 = ?

Proof: Girls are evil:

First we state that girls require time and money :-

Girls = Time x Money

And we know that time is money :-

Time = Money

Therefore :-

Girls = Money x Money

Girls = (Money)^2

And because 'money is the root of all evil'

Girls = (Evil)^1/2 x (Evil)^1/2
Girls = Evil

Theorem: The less you know the more money you make.

Proof:
We know that
a) Time is Money
b) Knowledge is Power
and from Physics
c) Power = Work / Time

By simple substitution:
Knowledge = Work / Money
Knowledge * Money = Work
Money = Work / Knowledge

It follows that as knowledge goes to 0, money goes to infinity.

Quote::

Ponieważ już kilka razy zdarzyło mi się stać pod karniszem z firanką w ręku i zastanawiać na ilu żabkach należy przyczepić firankę tak, by było równo, postanowiłem uformować małą teoryjkę na ten temat.

ile żabek?
Humanista rozwiąże to tak: bierzesz 1 Kijanę...